在概率论中，条件期望是一个实数随机变量的相对于一个条件概率分布的期望值。换句话说，这是给定的一个或多个其他变量的值一个变量的期望值。它也被称为条件期望值或条件均值。
条件期望的概念在柯尔莫哥洛夫的测度理论概率论的定义很重要。条件概率的概念是由条件期望来定义的。
计算[编辑]
设
X
{\displaystyle X}
和
Y
{\displaystyle Y}
是离散随机变量，则
X
{\displaystyle X}
在给定事件
Y
=
y
{\displaystyle Y=y}
条件时的条件期望是
x
{\displaystyle x}
的在
Y
{\displaystyle Y}
的值域的函数
E
(
X
|
Y
=
y
)
=
∑
x
∈
X
x
P
(
X
=
x
|
Y
=
y
)
=
∑
x
∈
X
x
P
(
X
=
x
,
Y
=
y
)
P
(
Y
=
y
)
,
{\displaystyle \operatorname {E} (X|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} (X=x|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ {\frac {\operatorname {P} (X=x,Y=y)}{\operatorname {P} (Y=y)}},}
其中，
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
是处于
X
{\displaystyle X}
的值域。
如果现在
X
{\displaystyle X}
是一个连续随机变量，而
Y
{\displaystyle Y}
仍然是一个离散变量，条件期望是：
E
(
X
|
Y
=
y
)
=
∫
X
x
f
X
(
x
|
Y
=
y
)
d
x
{\displaystyle \operatorname {E} (X|Y=y)=\int _{\mathcal {X}}xf_{X}(x|Y=y)dx}
其中，
f
X
(
⋅
|
Y
=
y
)
{\displaystyle f_{X}(\,\cdot \,|Y=y)}
是在给定
Y
=
y
{\displaystyle Y=y}
下
X
{\displaystyle X}
的条件概率密度函数。
正式的定义[编辑]
给定
X
{\displaystyle X}
是一个定义在概率空间
(
Ω
,
F
0
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},P)}
上的随机变量，
F
⊂
F
0
{\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {F}}_{0}}
是
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
的一个子σ-代数，且
E
|
X
|
<
∞
{\displaystyle E|X|<\infty }
。
则定义
X
{\displaystyle X}
在给定
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
下的条件期望
E
(
X
|
F
)
{\displaystyle E(X|{\mathcal {F}})}
是满足以下两个条件的随机变量
Y
{\displaystyle Y}
：
Y
{\displaystyle Y}
是
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
上的可测函数；
∀
A
∈
F
:
∫
A
X
d
P
=
∫
A
Y
d
P
{\displaystyle \forall A\in {\mathcal {F}}:\int _{A}XdP=\int _{A}YdP}
。
在这一定义下，
E
(
X
|
F
)
{\displaystyle E(X|{\mathcal {F}})}
是存在且在几乎必然的意义下唯一的。[1]
条件概率的定义[编辑]
参看[编辑]
全概率公式
全期望公式
联合分布
参考文献[编辑]
^ Rick Durrett, Richard. Probability : theory and examples Fifth. Cambridge: Cambridge University Press. : 178–180. ISBN 9781108591034.
外部链接[编辑]
（英文）Ushakov, N.G., Conditional mathematical expectation, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英语）